1. A NATUREZA DO CRESCIMENTO EXPONENCIAL
Atualmente achamos que ter cinco filhos não é demais; e cada filho também produz cinco filhos, e antes da morte do avô já serão 25 os descendentes. Logo, a população aumenta e a riqueza diminui; o povo trabalha com afinco e recebe pouco
Han Fri-Tzu, c.500 a.C (in p.25)
Todos os cinco elementos básicos para o estudo apresentado aqui - população, produção de alimentos, industrialização, poluição e consumo de riquezas naturais não renováveis – estão aumentando/ o montante do seu crescimento anual segue um padrão que os matemáticos chamam de crescimento exponencial..(Meadows et al, 1972, p.23)
Quase todas as atividades correntes da humanidade, desde o emprego de fertilizantes até a expansão das cidades, podem ser representadas por curvas de crescimento exponencial. Vamos ver as suas características gerais (Meadows et al, 1972, P.23)
A matemática do crescimento exponencial
A maioria das pessoas está acostumada a pensar em crescimento como um processo linear. Uma quantidade cresce linearmente quando seu aumento é constante em um período constante de tempo (Meadows et al, 1972, p.23).
Uma quantidade apresenta crescimento exponencial quando cresce a uma percentagem constante do total, em um período constante de tempo, continuamente à medida que aumenta o montante acumulado. Tal crescimento exponencial é um processo comum nos sistemas biológico e financeiro e em muitos outros sistemas existentes no mundo (Meadows et al, 1972, p.25)
Embora comumente observado, o crescimento exponencial pode traduzir resultados surpreendentes. Diz uma velha lenda persa que um inteligente cortesão fez presente ao rei de um tabuleiro xadrez e pediu ao monarca que, em retribuição, lhe desse um grão de arroz para o primeiro quadrado do tabuleiro, dois para o segundo, quatro para o terceiro e assim por diante. Concordou prontamente o rei, e ordenou que trouxessem arroz dos seus celeiros. O quarto quadrado do tabuleiro exigiu 8 grãos, o décimo 512, o décimo quinto 16.384 e o vigésimo primeiro deu ao cortesão mais de um milhão de grãos de arroz. Lá pelo quadragésimo quadrado, um trilhão de grãos teve que ser trazido dos celeiros. Todo o suprimento de arroz do rei já se esgotara muito antes de ter sido atingido o sexagésimo quarto quadrado. O crescimento exponencial é enganador porque introduz números incríveis com muita rapidez (Meadows et al, 1972, p.25)
É útil pensarmos em crescimento exponencial em termos de tempo de duplicação ou o tempo que leva uma quantidade em crescimento para dobrar de tamanho. Uma soma de dinheiro depositada em um banco a juros de 7%, duplicará em 10 anos. Há uma relação simples entre a taxa de juros, ou o índice de crescimento. E o tepo que leva uma quantidade para duplicar em tamanho. O tempo de duplicação é aproximadamente igual a 70 dividido pelo índice de crescimento, como ilustrado na tabela 01.
Tabela 1. Período de duplicação
Taxa de crescimento (% anual)......... tempo de duplicação (em anos)
o,1 ............................................................... 700
o,5 ...............................................................140
Atualmente achamos que ter cinco filhos não é demais; e cada filho também produz cinco filhos, e antes da morte do avô já serão 25 os descendentes. Logo, a população aumenta e a riqueza diminui; o povo trabalha com afinco e recebe pouco
Han Fri-Tzu, c.500 a.C (in p.25)
Todos os cinco elementos básicos para o estudo apresentado aqui - população, produção de alimentos, industrialização, poluição e consumo de riquezas naturais não renováveis – estão aumentando/ o montante do seu crescimento anual segue um padrão que os matemáticos chamam de crescimento exponencial..(Meadows et al, 1972, p.23)
Quase todas as atividades correntes da humanidade, desde o emprego de fertilizantes até a expansão das cidades, podem ser representadas por curvas de crescimento exponencial. Vamos ver as suas características gerais (Meadows et al, 1972, P.23)
A matemática do crescimento exponencial
A maioria das pessoas está acostumada a pensar em crescimento como um processo linear. Uma quantidade cresce linearmente quando seu aumento é constante em um período constante de tempo (Meadows et al, 1972, p.23).
Uma quantidade apresenta crescimento exponencial quando cresce a uma percentagem constante do total, em um período constante de tempo, continuamente à medida que aumenta o montante acumulado. Tal crescimento exponencial é um processo comum nos sistemas biológico e financeiro e em muitos outros sistemas existentes no mundo (Meadows et al, 1972, p.25)
Embora comumente observado, o crescimento exponencial pode traduzir resultados surpreendentes. Diz uma velha lenda persa que um inteligente cortesão fez presente ao rei de um tabuleiro xadrez e pediu ao monarca que, em retribuição, lhe desse um grão de arroz para o primeiro quadrado do tabuleiro, dois para o segundo, quatro para o terceiro e assim por diante. Concordou prontamente o rei, e ordenou que trouxessem arroz dos seus celeiros. O quarto quadrado do tabuleiro exigiu 8 grãos, o décimo 512, o décimo quinto 16.384 e o vigésimo primeiro deu ao cortesão mais de um milhão de grãos de arroz. Lá pelo quadragésimo quadrado, um trilhão de grãos teve que ser trazido dos celeiros. Todo o suprimento de arroz do rei já se esgotara muito antes de ter sido atingido o sexagésimo quarto quadrado. O crescimento exponencial é enganador porque introduz números incríveis com muita rapidez (Meadows et al, 1972, p.25)
É útil pensarmos em crescimento exponencial em termos de tempo de duplicação ou o tempo que leva uma quantidade em crescimento para dobrar de tamanho. Uma soma de dinheiro depositada em um banco a juros de 7%, duplicará em 10 anos. Há uma relação simples entre a taxa de juros, ou o índice de crescimento. E o tepo que leva uma quantidade para duplicar em tamanho. O tempo de duplicação é aproximadamente igual a 70 dividido pelo índice de crescimento, como ilustrado na tabela 01.
Tabela 1. Período de duplicação
Taxa de crescimento (% anual)......... tempo de duplicação (em anos)
o,1 ............................................................... 700
o,5 ...............................................................140
1,0 .............. ..................................................70
2,0 .................................................................35
4,0 ................................................................ 18
5,0 .................................................................14
7,0 ......... ...................................................... 10
10,0 .............................................................. 07
Fonte: Meadows et.al.(1972, p.27).
Modelos e crescimento exponencial
O crescimento exponencial é um fenômeno dinâmico, isto é, envolve elementos que mudam durante um período de tempo. Em um sistema simples, como conta bancária ou o lago de nenúfares, a causa do crescimento exponencial é fácil de ser entendido. Contudo, quando muitas quantidades diferentes crescem simultaneamente em um sistema e quando todas elas se correlacionam de maneira complicada, a análise das causas do crescimento e do comportamento futuro do sistema torna-se realmente muito difícil (Meadows et al, 1972, p.27)
Será que o crescimento da população causa a industrialização ou o contrário, é a industrialização que determina o crescimento da população? Será que qualquer um destes elemetnos é responsável, individualmente, pelo aumento da poluição ou ambos são responsáveis? Da maior produção de alimentos resultara um população mair? Se qualquer um destes elementos crescer mais lentamente, ou com maior rapidez, o que acontecerá com os índices de crescimento de todos os demais? Estas mesmas questões estão sendo dsicutidas, hoje em dia, em muitas partes do mundo (Meadows et al, 1972, p.27)
No decorrer dos últimos 30 anos,desenvolveu-se no Massachusetts Institute of Technology, um novo método chamado System Dynamics. A base do método é o reconhecimento de que a estrutura de qualquer sistema – as numerosas relações circulares, interligadas e algumas vezes retardada, entre seus componentes - é muitas vezes tão importante na determinação de seu comportamento, quanto os próprios componentes em separado. O modelo descrito neste livro é um modelo de dinâmica de sistemas (Meadows et al, 1972, p.28).
A teoria de modelação dinâmica indica que qualquer quantidade, crescendo exponencialmente, está comprometida, de certo modo, com um ciclo positivo de realimentação. Um ciclo positivo de realimentação é algumas vezes denominado u “circulo vicioso”. Um exemplo disso é a conhecida espiral de salário-preço: os salários aumentam, causando um aumento de preços, que levam a exisgencias de salários mais altos, e assim por diante. Em um ciclo positivo de realimentação uma série de relações de causa e efeito se fecha em si mesma de forma que qualquer elemento, crescendo no ciclo iniciará uma seqüência de mudanças que resultarão num acréscimo ainda maior do elemento originalmente aumentado (Meadows et al, 1972, p.28).
O ciclo positivo de realimentação responsável pelo crescimento exponencial de dinheiro numa conta bancária pode ser representado da seguinte forma (Meadows et al, 1972, p.28):
Suponhamos que 100 dólares são depositados na conta bancária. Os juros do primeiro ano são 7% sobre 100 dólares, ou seja, 7 dólares que são somados à conta, perfazendo um total de 107 dólares. Os juros do ano seguinte são 7% sobre 107 dólares, ou 7,49 que perfazem um total de 114,49 dólares. Quanto mais dinheiro houver na conta, mais será acrescentado, cada ano, em juros. E quanto mais for acrescentado, mais haverá na conta no ano seguinte, fazendo com que mais ainda seja adicionado em juros. E assim por diante. À medida que percorremos o ciclo, o dinheiro acumulado na conta bancária cresce exponencialmente a taxa constante de juros (a 7%) determina o lucro no percurso do ciclo, isto é, a taxa à qual cresce a cnta bancária (Meadows et al, 1972, p.29)
Podemos começar nossa analise dinâmica da situação mundial a longo prazo, procurando os ciclos positivos de realimentação que são fundamentais para o crescimento exponencial nas cinco quantidades físicas mencionadas. Em particular, os índices de crescimento de dois destes elementos - população e industrialização - são de interesse, uma vez que o alvo de muitas políticas de desenvolvimento é encorajar o crescimento da segunda em relação à primeira. Teoricamente, os dois ciclos positivos básicos de realimentação, responsáveis, pelo crescimento exponencial da população e da industria são simples. As muitas conexões entre estes dois ciclos positivos de realimentação exercem influencia na ampliação ou diminuição da ação dos ciclos, ou na conjugação ou não das taxas de crescimento da população com as da industria. Estas conexões constituem o restante do modelo do mundo e sua descrição ocupará a maior parte do que ainda falta para ser abordado neste livro (Meadows et al, 1972, p.29).
Fonte: Meadows et.al.(1972, p.27).
Modelos e crescimento exponencial
O crescimento exponencial é um fenômeno dinâmico, isto é, envolve elementos que mudam durante um período de tempo. Em um sistema simples, como conta bancária ou o lago de nenúfares, a causa do crescimento exponencial é fácil de ser entendido. Contudo, quando muitas quantidades diferentes crescem simultaneamente em um sistema e quando todas elas se correlacionam de maneira complicada, a análise das causas do crescimento e do comportamento futuro do sistema torna-se realmente muito difícil (Meadows et al, 1972, p.27)
Será que o crescimento da população causa a industrialização ou o contrário, é a industrialização que determina o crescimento da população? Será que qualquer um destes elemetnos é responsável, individualmente, pelo aumento da poluição ou ambos são responsáveis? Da maior produção de alimentos resultara um população mair? Se qualquer um destes elementos crescer mais lentamente, ou com maior rapidez, o que acontecerá com os índices de crescimento de todos os demais? Estas mesmas questões estão sendo dsicutidas, hoje em dia, em muitas partes do mundo (Meadows et al, 1972, p.27)
No decorrer dos últimos 30 anos,desenvolveu-se no Massachusetts Institute of Technology, um novo método chamado System Dynamics. A base do método é o reconhecimento de que a estrutura de qualquer sistema – as numerosas relações circulares, interligadas e algumas vezes retardada, entre seus componentes - é muitas vezes tão importante na determinação de seu comportamento, quanto os próprios componentes em separado. O modelo descrito neste livro é um modelo de dinâmica de sistemas (Meadows et al, 1972, p.28).
A teoria de modelação dinâmica indica que qualquer quantidade, crescendo exponencialmente, está comprometida, de certo modo, com um ciclo positivo de realimentação. Um ciclo positivo de realimentação é algumas vezes denominado u “circulo vicioso”. Um exemplo disso é a conhecida espiral de salário-preço: os salários aumentam, causando um aumento de preços, que levam a exisgencias de salários mais altos, e assim por diante. Em um ciclo positivo de realimentação uma série de relações de causa e efeito se fecha em si mesma de forma que qualquer elemento, crescendo no ciclo iniciará uma seqüência de mudanças que resultarão num acréscimo ainda maior do elemento originalmente aumentado (Meadows et al, 1972, p.28).
O ciclo positivo de realimentação responsável pelo crescimento exponencial de dinheiro numa conta bancária pode ser representado da seguinte forma (Meadows et al, 1972, p.28):
Suponhamos que 100 dólares são depositados na conta bancária. Os juros do primeiro ano são 7% sobre 100 dólares, ou seja, 7 dólares que são somados à conta, perfazendo um total de 107 dólares. Os juros do ano seguinte são 7% sobre 107 dólares, ou 7,49 que perfazem um total de 114,49 dólares. Quanto mais dinheiro houver na conta, mais será acrescentado, cada ano, em juros. E quanto mais for acrescentado, mais haverá na conta no ano seguinte, fazendo com que mais ainda seja adicionado em juros. E assim por diante. À medida que percorremos o ciclo, o dinheiro acumulado na conta bancária cresce exponencialmente a taxa constante de juros (a 7%) determina o lucro no percurso do ciclo, isto é, a taxa à qual cresce a cnta bancária (Meadows et al, 1972, p.29)
Podemos começar nossa analise dinâmica da situação mundial a longo prazo, procurando os ciclos positivos de realimentação que são fundamentais para o crescimento exponencial nas cinco quantidades físicas mencionadas. Em particular, os índices de crescimento de dois destes elementos - população e industrialização - são de interesse, uma vez que o alvo de muitas políticas de desenvolvimento é encorajar o crescimento da segunda em relação à primeira. Teoricamente, os dois ciclos positivos básicos de realimentação, responsáveis, pelo crescimento exponencial da população e da industria são simples. As muitas conexões entre estes dois ciclos positivos de realimentação exercem influencia na ampliação ou diminuição da ação dos ciclos, ou na conjugação ou não das taxas de crescimento da população com as da industria. Estas conexões constituem o restante do modelo do mundo e sua descrição ocupará a maior parte do que ainda falta para ser abordado neste livro (Meadows et al, 1972, p.29).
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